提前行权 or 卖出
在讲美式期权是否应该提前行权，我们首先要区分一个概念，就是行权和卖出。
在期权市场上，作为一个 American option holder，既有以约定的行权价 K 买入或者卖出标的资产的权利，也有以市场价卖出期权的权利。这是两种完全不同的权利。
我们通常所说的，期权价格/价值（Option Price）包含两部分，一部分叫内在价值 （Intrinsic Value） ，一部分叫外在价值/时间价值（Time Value）。
$$Option Price = Intinsic Value + Time Value$$
期权在二级市场上交易的价格是总的 Option Price，包含了 IV 和 TV 两部分。所以卖出期权得到的就是总的 Option Price。
而期权在行权的时候会破坏 Time Value，行权之后得到的只是内在价值 IV。
那么既然 holder 既可以选择提前行权，又可以选择卖出，那么如何抉择呢？
看起来卖出得到的 Option Price 似乎总是大于等于提前行权得到的 IV，因此在大部分情况下，如果想放弃手中的权利，似乎卖出都是比提前行权更好的。那什么情况下，理性的投资者会选择行权而不是卖出呢？
- 我们在研究期权的时候没有区分 price 和 value，原因是基于“市场是有效的，价格总能反映价值，二者相等”的前提下。但实际上二级市场上影响期权价格的直接因素是供求关系，所以二者不相等的情况也偶有发生。这个时候如果市价低估了，就存在行权比卖出更好的可能。
- 当一个期权的 Time Value 为 0 是时候，行权和卖出得到的价值是一样的，所以选哪个都一样，就有可能选择行权。
- 卖出期权要考虑到期权市场的流动性。 在真实市场中，期权市场的流动性往往要比股票市场的流动性差，如果你想换回 Option Price 的时候发现，一时找不到足够的对手盘或者 Spread 过大，对手盘报价很不理想，对价卖出得到的价值反而可能比 IV 还小，那当然是优先选择行权。
下文我们讨论的情境是： American Option 应该提前行权还是持有到期？
提前行权 or 持有到期
American Call 提前行权？
假设我们现在持有一份行权价为 K ，到期时间为 T 的 American Call，现在时刻是 t ，当前股价 \(S_{t}\)。
如果提前行权（一定\(S_{T} \geq K \)），就会破坏期权的时间价值，拿到的是 payoff，也就是内在价值 IV。
$$payoff = S_{T} – K$$
如果不提前行权，持有的是期权价值 Option Value。由《期权价格的上下限》一文，
American Call 的价格下限是：
$$OptionValue \geq S – Ke^{-rT} $$
比较一下我们就可以发现，American Call 的 Option Value 总是大于等于 payoff 的。
所以理性的 American Call Option (no dividend) holder 是不会提前行权的，他一定会持有到期。
但是！
但是！
但是！
如果期权存续期间，标的资产是有股利支付的，那么提前行权的收益就变成了：
$$ S_{T} – K + Dividend $$
因此，当即将支付的股利的诱惑足够大，弥补了提前行权的损失的时候，理性的 American Call Option holder 才会提前行权。
American Put 提前行权？
美式看跌期权是否应该提前行权呢？
如果选择在 t 时刻提前行权，就可以提前收到钱 $ K 去赚取无风险收益，最终得到的是：
$$(K – S_{t}) + K(e^{r\times (T – t)}-1)$$
如果选择 wait until T，最终得到的是：
$$K – S_{T}$$
于是我们可以画出下表：
| 最优选择 | |
| 若 \( S_{T} = S_{t} – K(e^{r\times (T – t)}-1) \) | 都一样 |
| 若 \( S_{T} > S_{t} – K(e^{r\times (T – t)}-1) \) | early exercise at t |
| 若 \( S_{T} < S_{t} – K(e^{r\times (T – t)}-1) \) | wait until T |
由于标的资产价格下跌是有极限的，极限就是跌到 0。
所以\(S_{T}\) 极限也就是跌到 0。也就是说，如果当前的 American Put 已经深度实值到，
$$ S_{t} \leq K(e^{r\times (T – t)}-1) $$
这个时候，理性的 American Put Option (no dividend) holder 就会选择提前行权， 因为继续等待也不会有更多惊喜了，还不如提前行权拿到到钱 $ K 在 t 到 T 期间赚取无风险收益。
这个时候的 American Put 已经是深度实值了， Time Value = 0 ，也就是说，当前的 Option Price 就等于 Intrinsic Value。
但是！
但是！
但是！
如果期权在未来的 t – T 期间，标的资产是即将有股利支付的，那么持有到期的收益就变成了：
$$ K – S_{T} + Dividend$$
因此，如果即将支付的股利的诱惑足够大，弥补了持有到期的利息损失的时候，理性的 American Call Option (with dividend) holder 就会选择持有到期。
发表评论