Pricing the Underlying 标的资产定价

present value of discounted cash flow（DCF模型）

把一个金融资产预期的未来价格，加上所有的中间现金净流入（包含 benefit 和cost，比如：股息dividends 或者 息票利息 coupon interest 或者 运输仓储成本），用适当的比率（折现率视风险而定）进行折现，得到的就是标的资产的价值。

$$S_{0}=E(S_{T})/(1+r+\lambda)^{T}-\theta +\gamma $$

• \(S_{0}\)：spot price
• \(E(S_{T})\)：expected spot price at time T
• r：risk free rate
• \(\lambda\)：risk premium（风险溢价）
• \(\theta\) ：the present value of the cost of holding an asset
• \(\gamma\)：the present value of the benefit of holding an asset

Pricing the Derivatives 衍生品定价

Arbitrage 套利

• 套利是一种当两个资产或者投资组合有相同的结果，但价格不同的情况下发生的一种交易。
• 一价定律：
  • 如果了两个资产有相同的未来现金流，无论怎样都应该有相同的价格
  • 否则交易者就会迅速抓住套利机会，将套利机会填平，让价格趋于一致
• 如果通过持有一个无风险的组合（risk-free portfolio）能得到比无风险利率更高的投资回报，那么套利机会就存在。

如果没有衍生品存在，我们很难找到相同的资产。

Replication 复制

定义：用其他资产或者投资组合或者衍生品去构造一个新的资产或者组合

比如：用一个资产和一个相应的对冲头寸，就可以组合成一个等同于无风险资产的组合。假设你有一支股票 S，同时 short 一个 forward，forwar合同规定：三个月之后你可以以 20 块钱卖掉这些股票。那么持有的股票加上 forward 的空头头寸，就构造了一个无风险组合，整个组合保证了三个月之后有 20 块钱的现金流。

Asset + Derivative = Risk-free asset

Asset – Risk-free asset = – Derivative

其中，“-”代表 short 或者以 \(R_{f}\) 去 borrow，“+”代表 long

\(+R_{f}\) 代表 lending at \(R_{f}\)，即：花钱去买一个无风险资产获得无风险回报率

\(-R_{f}\) 代表 borrowing at \(R_{f}\)，向别人以无风险利率去接入钱

No Arbitrage Pricing 无套利定价

无套利定价建立在一个假设的前提下：假设没有套利机会！

那么根据 Asset – Risk-free asset = – Derivative ，我们可以通过标的资产 Asset 的价格，和无风险利率 risk-free rate 。就可以给衍生品 Derivative 进行定价了。衍生品的定价基本上都是通过这个原理，即用复制的方式去定价。

Risk-neutral pricing 风险中性定价

因为构造的无风险组合，无风险组合给到的是确定的现金流（无风险收益）， 投资者被假设是风险中性的，投资者对风险的态度（厌恶程度）不会影响衍生品的价格。

所有的衍生品定价模型最终都是一样的方法，那就是将衍生品预期的 payoff 按照无风险利率进行折现。