Modified Duration 衡量的是：当利率变动 100 个基点（ 1%），债券价格变动百分之几。

$$ ModDur \approx \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\Delta r} = \frac{P_{-} – P_{+} }{2 \times \Delta r \times P_{0}} $$

其中：

• 当利率下降时，债券价格从 \( P_{0} \) 升高到 \( P_{-} \)
• 当利率上升时，债券价格从 \( P_{0} \) 下降到 \( P_{+} \) （显然 \( P_{-} > P_{+} \) ）

Modified Duration 前面是暗含一个负号的，但是有时会省略掉。

Modified Duration 做的是 linear estimate（线性估计）。也就是说，假定了利率上涨 1% 和 下跌 1%，债券价格变动百分比是一样的。

$$ \frac{\Delta Price}{Price} \approx – ModDur \times \Delta Yield$$

Macaulay Duration & Modified Duration 的关系

由麦考利久期公式（以三期为例）：

$$MacDur = \sum_{t=1}^{n}t \times \frac{PVCF_{t}}{P_{0}} = \frac{C_{1}}{1+r} + 2 \times \frac{C_{2}}{(1+r)^{2}} + 3 \times \frac{C_{3} +Par }{(1+r)^{3}} $$

$$P_{0} = \sum PVCF_{t} = \frac{C_{1}}{1+r} + \frac{C_{2}}{(1+r)^{2}} + \frac{C_{3} +Par }{(1+r)^{3}} $$

修正久期的公式：

$$ ModDur = \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\Delta r} = \frac{1}{P} \times \frac{\Delta P}{\Delta r} = \frac{1}{P} \times \frac{d P}{d r} $$

可得：

$$ \frac{d P}{d r} = – \frac{C_{1}}{(1+r)^{2}} – 2 \times \frac{C_{2}}{(1+r)^{3}} – 3 \times \frac{C_{3}+Par}{(1+r)^{4}}$$

进而得到：

$$ ModDur = – \frac{1}{1+r} \times MacDur $$

Tips： 上面公式中的 r 用的是期间利率。如果coupon 是半年付息一次，r 应该是年化利率除以二。

永续债权的修正久期和麦考利久期如何计算？

$$P_{0} = \frac{C}{1+r} + \frac{C}{(1+r)^{2}} + \frac{C }{(1+r)^{3}}+…… $$

$$\frac{1}{1+r}P_{0} = \frac{C}{(1+r)^{2}} + \frac{C}{(1+r)^{3}} + \frac{C }{(1+r)^{4}}+…… $$

上面两式相减，我们得到了

永续债券的定价公式：

$$P_{0} = \frac{C}{r}$$

带入到修正久期的定义式，可得：

永续债券的修正久期：

$$ ModDur = \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\Delta r} = – \frac{1}{r} $$

永续债券的麦考利久期：

$$ MacDur = \frac{1+r}{r} $$

由上面两个式子可以看出，永续债券的久期跟 coupon 金额大小无关。