单利&非连续复利&连续复利

单利：\((1+r \times T)\)

非连续复利：\((1+r)^{T}\)

这里我们的假设是一年产生一次利息，如果一年产生n次利息，复利的计算应该是下面的式子：

$$(1+\frac{r}{n})^{n \times T}$$

而连续复利就意味着，求上式在n趋于正无穷时的极限值。即：

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^{n \times T}$$

在数学中e的定义：

$$e=\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}$$

那么连续复利下的计算可以写成：

$$ = \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^{n \times T} = \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}\times r\times T} =e^{r \times T} $$

连续复利：\( e^{r \times T} \)

Tips：单一股票一般用非连续复利，股指一般用连续复利。

Pricing of Equity Index Futures 股指期货合约定价

连续复利(continuously compounded)的形式：

$$F_{0}(T)=S_{0} \times e^{(r_{f}^{c}-\delta^{c}) \times T}$$

非连续复利（annually compounded）的形式：

$$F_{0}(T)=S_{0} \times e^{-\delta^{c} \times T}\times (1+r_{f})^{T}$$

\( r_{f}^{c} \)：连续复利下的无风险利率

\(\delta^{c}\)：连续复利下的dividend yield

\( r_{f} \)：非连续复利下的无风险利率

连续复利 & 非连续复利下的无风险利率什么关系？

如何通过 \( r_{f} \) 得到 \( r_{f}^{c} \) ？

由\((1+r_{f})^{T}=e^{r_{f}^{c}\times T}\)得到：

$$ r_{f}^{c} = ln(1+ r_{f} )$$

连续复利下的无风险利率 \( r_{f}^{c} \) 与 dividend yield \(\delta^{c}\) 大小关系意味着什么？

\( r_{f}^{c}>\delta^{c} \)

由\( F_{0}(T)=S_{0} \times e^{(r_{f}^{c}-\delta^{c}) \times T} \)可知：

这意味着\(F_{0}^{T}>S_{0}\)，也就是股指期货合约处于升水contango。

\( r_{f}^{c}<\delta^{c} \)

这意味着\(F_{0}^{T}<S_{0}\)，也就是股指期货合约处于贴水backwardation。

Valuatioin of Equity Index Futures 股指期货合约的估值

通用公式：

$$V_{t}=S_{t}\times e^{-\delta^{c}\times (T-t)}-F_{0}^(T)\times e^{-r_{f}^{c}\times (T-t)}$$

或者：

$$ V_{t}=(F_{t}(T)-F_{0}(T))\times e^{-r_{f}^{c}\times (T-t)} $$