Plain vanilla interest rate swap，是指固定利率换浮动利率的 interest rate swap（IRS）。

swap’s notion value 决定了两个利率最终对应多少金额。利率互换的 Notional amount 不需要在期初和期末进行交换（货币互换才需要交换名义本金）。期间的现金流，是 netted 轧差取净值，支付金额多的一方给少的一方差额即可。

Floating rate payments 通常是 made in arrears。就是指：利率是期初确定的，利息是期末支付的。

IRS 存续期间的现金流，就好像多笔 forward 的组合。

Pricing 利率互换的定价

Plain vanilla IRS 的定价，就是确定固定端的利率，使得整个合同在期初的价值为零。

如果把 IRS 在期末的现金流，加上一笔相同的本金交换，那么 IRS 的双方也可以看成是买卖债券的双方（一方 long bond，一方 short bond；一个是固息债券，一个是浮息债券）

在每一个 coupon-reset day（付息日）和 initial day 期初，浮息债券都有相同的 par value。

那么我们在确定 fixed-rate bond 的票息率的时候，保证 floating bond 和 fixed-rate bond 的 par 相同。那么 fixed-rate bond 的 coupon rate 就是 Plain vanilla IRS 的固定利率。

由：

浮息债券的面值 = 固息债券的现值

假定 F 是 n 期的面值为 $1 的平价固息债券的每期支付的票息，则有下式：

$$1 = F\times D_{1} + F\times D_{2} + F\times D_{3} + … + F\times D_{n} + 1\times D_{n}$$

其中，dicount factor / PV factor（折现因子）\( D_{n} = \frac{1}{1+r \times n} \)，也等于面值为 $1 的 n 期（如果是一个季度，则 n = 1/4）的零息债券的价值。

由上面两个式子，可以推出 IRS 的定价公式：

$$ F = \frac{1-D_{n}}{D_{1} + D_{2} + D_{3} + …+ D_{n}}$$

Tips：F 是每一期的票息，如果要计算 IRS 还需要变成年化的利率！举例：面值为 $1 的债券每个季度的票息 F=0.98%，则 swap rate = 0.98% x 360/9 = 3.92%。

Valuation 利率互换的估值

Method 1 用定义

Swap 的价值，就是计算浮息债券和固息债券价值的差（在存续期间的任何时间点都成立）。

对于 fixed-rate payer（floating-rate receiver）：

$$V_{t} = PV_{Floating-rate Bond} – PV_{Fixed-rate Bond}$$

对于 fixed-rate receiver（floating-rate payer）：

$$V_{t} = PV_{Fixed-rate Bond} – PV_{Floating-rate Bond}$$

在每一个 settlement date（票息重置日），浮动的票息率会被重置到市场利率，所以浮息债券的价值等于 par value。

Method 2 重签合同看差异

假定在 t 时间点重新签订一份 IRS，固定利率可以签到多少呢？

在 t 时刻来看，t~T 期间内的所有现金流的净现值应该是等于 0 的（签订时刻，合同双方谁也不占便宜不吃亏）。t~T 期间，现金流的笔数可能比 0~T 期间的现金流笔数少。

对于 fixed-rate payer（floating-rate receiver）：

$$V_{t} =\Sigma PV[ F_{t}(Fixed Rate) – F_{0}(Fixed Rate)]$$

对于 fixed-rate receiver（floating-rate payer）：

$$V_{t} =\Sigma PV[F_{0}(Fixed Rate) – F_{t}(Fixed Rate)]$$

\(F_{t}\) 和 \(F_{0}\) 的大小关系？

如果 0~t 期间，现金流的净值是 0，那么 \(F_{t}\) = \(F_{0}\)。

Tips：CFA 考试中，t 时间点一定是在 settlement date 的。