定义

一份由买入欧式看涨期权和卖出欧式看跌期权组成的投资组合，其价格等于一份与它们有相同标的资产、行权价与到期日的远期合约的价格。

$$ C_{0} + PV(K)= P_{0} + S_{0} $$

或者写成：

$$ C_{0} – P_{0} = S_{0} – Ke^{-rT} = F_{0}(T) $$

\(C_{0}\) ：0 时刻的欧式看涨期权的价格

PV(K)：行使价 K 的现值 ，从到期日的价格按无风险汇率 \(r\) 折现

\(P_{0}\) ： 0 时刻的欧式看跌期权的价格

\(S_{0}\) ： 0 时刻的现货价格或相关资产的当前市场价值

怎么来的？

我们在 0 时刻构建两个投资组合，一份叫 Fiduciary call，一份叫 Protective put。

Fiduciary call 信托买入期权

包含一份行权价为 K 且到期日为 T 的欧式看涨期权，和一份到期时间为 T 且面值为 K 的零息债券。

$$ call + Ke^{-rT} $$

Protective put 保护性看跌期权

一份标的股票，加一份行权价为 K 且到期日为 T 的欧式看跌期权 。

$$ Stock + put $$

注意：这两个投资组合当中的 call 和 put 都是欧式期权，且具有相同的到期日T，相同的行权价 K 和相同的标的资产。

推导

T 时刻，我们可以看到两个投资组合的价值如下表：

组合名	Fiduciary call	Protective put
组合内容	call + \(Ke^{-rT}\)	put + stock
if \(S_{T}\leq K\)	0 + K = K	\((K – S_{T}) + S_{T} = K\)
if \(S_{T}\geq K\)	\((S_{T} – K ) + K = S_{T}\)	0 + \(S_{T}\)

我们看到两个投资组合的最终价值总是在 K 和 \(S_{T}\) 当中较大的那个，也即：

$$V_{Fiduciary Call} = V_{Protective Put} = max(K, S_{T})$$

由于两个投资组合在 T 时刻价值相等，那么在无套利下，他们在 0 时刻的价值也相等，否则就存在套利机会。因此得到如下恒等式：

$$call + Ke^{-rT} = put + stock $$

Put-Call Parity & Synthetic Position 合成头寸

如何利用买卖权平价关系设计合成头寸呢？

\( S = C – P + PV(K)\)

卖空一份股票 = 卖出一份 call + 买一份 put + 借入一份钱

• 这里等式左边的 S 是正的，代表卖空一份股票收了一分钱 S
• 等式右边的 C 是正的，代表卖出一份 call，收到了 C 这么多的期权金
• 其他以此类推

\( -S = -C + P – PV(K)\)

买入股票 = 买一份 call + 卖出一份 put + 借出一份钱

\( -P = S – C – PV(K)\)

买入一份 put = 卖空一份股票 + 买入一份 call + 借出一份钱

\( P = – S + C + PV(K)\)

卖出一份 put = 买入一份股票 + 卖出一份call + 借入一份钱

\( C = S + P – PV(K)\)

卖出一份 call = 卖空一份股票 + 卖出一份 put + 借出一份钱

\( – C = – S – P + PV(K)\)

买入一份 call = 买入一份股票 + 买入一份 put + 借入一份钱

\( PV(K) = S – C + P \)

无风险借一笔钱 = 卖空一份股票 + 买入一份 call + 卖出一份 put

\( – PV(K) = – S + C – P \)

无风险贷出一笔钱 = 买入一份股票 + 卖出一份 call + 买入一份 put