什么是二叉树？

在计算机科学中，二叉树（binary tree）是每个节点最多只有两个分支的树结构。

如上图的 二叉树，第 i 层至多拥有 \(2^{i-1}\) 个节点 。

这样的二叉树，节点数增加速度呈现指数增长，后面增长速度非常快。

股价二叉树

定义

在研究期权定价中，我们构造的股价二叉树，为了让节点增长速度增长可控，我们让股价每次上涨下跌的幅度保持不变，所以可以选择下图的模型。

如上图的 二叉树，第 i 层至多拥有 i 个节点 。

binomial option pricing model 三个特点：

• 起始的资产价格是 \(S_{0}\)
• 上涨下跌的幅度分别是 U 和 D
• 上涨下跌的概率分别是 \(\pi _{U}\) 和 \(\pi _{D}\)

CFA 考试中通常会告诉 U 和 D 分别是多少。

如果考试中只告诉了 U 和 D 其中之一，另一个就取倒数（\(U =\frac{1}{D}\)）

为什么不选择三叉树？

我们不选择三叉树主要是考虑到计算机的算力，对计算机的处理能力要求很高。我们每一次分叉是经历 t 时长分成两个分支，我们要提高精度只需要让 \(t \to 0\) 一样能实现。

利率二叉树 & 股价二叉树

股价二叉树是源于利率二叉树。利率二叉树源于塔克曼的 Model 1：\(dr=\sigma dw\)

利率是一个率的概念，转换成股价，我们对股价取 ln 得到股票的回报率。

这里是基于股价服从对数正态分布，那么 “ln 股价” 就服从正态分布。

这里对每一项加上 e 底数得到股价二叉树模型。

风险中性下的上涨下跌概率

公式

$$\pi_{U} = \frac{(1 + r_{f})^{T} – D}{U – D}$$

$$\pi_{D} = 1 – \pi_{U} = \frac{U – (1 + r_{f})^{T}}{U – D}$$

推导过程

如上图，股价经过 t 时间分叉，上涨概率是\(\pi_{U}\)，下跌概率是 \(1-\pi_{U}\)。

那么 t 时刻股价的期望是：

$$E(S_{t}) = \pi_{U} \times(S_{0}*U) + (1-\pi_{U})\times (S_{0}*D)$$

风险中性下，投资者多承担风险不会得到额外的回报，所有投资者的预期收益都是 risk free rate。 所以站在 0 时刻去看 t 时刻远期的股价期望：

$$E(S_{t}) = S_{0}(1+r_{f})^{t}$$

联立上面两个式子即可得到风险中性下的上涨下跌概率。

tips：风险中性下的上涨下跌概率更像是长得像概率的系数。

Binomial Option Pricing Model 二叉树期权定价模型

通过一个分叉阶段的股价二叉树，我们可以得到 T 时刻的 call 和 put 的价格（即内在价值，到期不存在时间价值），再用无风险利率向前折现到 0 时刻即可得到 0 时刻的看涨期权和看跌期权的价值。

Value of an call option

$$C_{0} = (\pi_{U} \times C^{+} + \pi_{D} \times C^{-})/(1+r_{f})^{T}$$

Value of an put option

$$P_{0} = (\pi_{U} \times P^{+} + \pi_{D} \times P^{-})/(1+r_{f})^{T}$$

tips：如果这里是无股利支付的欧式期权，有了 call 的价格，用 put call parity 去计算 put 的价格也是可以的。详见：

金融工程|衍生品|期权|买卖权平价公式

Delta 对冲

Risk Free Hedge

如果我 short 一份 call，同时 long \(\delta \) 份的股票，进行无风险对冲。当前的投资组合现值是：

$$ V = \delta\times S -C $$

经过一个阶段分叉之后得到：

$$ V^{+} = \delta\times S^{+} -C^{+} $$

$$ V^{-} = \delta\times S^{-} -C^{-} $$

由于选定的 \(\delta\) 使得这一投资组合是无风险的，也就是无论股价上涨还是下跌，投资组合的价值是变的，即 \(V^{+} = V^{-}\)。于是，由上述两式可得：

$$\delta= \frac{C^{+} – C^{-}}{S^{+} – S^{-}} = \frac{C^{+} – C^{-}}{S \times U – S \times D}$$

tips：由于\(\delta\) < 1，所以 delta 对冲中，股票的份数一定是少于期权的份数的。

Arbitrage Oppotunity 套利机会

如果发现期权的市场价格（market price）与二叉树模型计算的（自己认为的）价值（calculated value）不相等，就存在套利机会。

如果 market price > calculated value，可以：

• short 1份 call，long \( \delta \) 份的股票
• 或者 short 1份 put，short \( \delta \) 份的股票

如果 market price < calculated value，可以：

• long 1份 call，short \( \delta \) 份的股票
• long 1份 put，long \( \delta \) 份的股票