Fixed Income Futures 在 CFA 中指的就是国债期货。这一工具主要是用来管理利率风险的，如果用公司债期货的话会引入信用风险，所以一般用国债期货。

Fixed Income 知识回顾

债券的报价是不含 应计利息 accrued interest（AI） 的，也就是 flat price 或者 clean price。而含有 AI 的价格叫 full price 或者 dirty price。

• clean price / flat price（不含AI）
• dirty price / full price （含AI）

债券的交易是以 full price 进行交易的，而债券的报价是以 flat price 进行报价的。

如图所示，债券在 settlement date 发生交易，在 1 时刻付息。买卖双方在交易的时候，买方肯定要对卖方在 t 期间持有债券的行为给与补偿，也就是说交易价格要包含 accrued interest。

$$AI = \frac{t}{T}\times PMT$$

而报价的时候为了价格的平滑，所以用不包含 AI 的 flat price。

on-the-run：指距离现在最近一次发行的国债

off-the-run：指除了最近一次以外的以前发行的国债

Fixed Income Futures

国债期货合约在实物交割的时候，空方可以选择不止一种券交割给多方。

美国的国债期货市场上，国债期货合约在签订的时候，就约定了可供选择交割的一篮子券，要求面值是 $100000 的任何 coupon rate 的 T-bonds 长期国债，长期债券不短于 15 年。其中 T-bonds 的报价是以 32 分位来进行报价的，例如：一个报价为 “95-18”，这代表 95+18/32=95.5625 元

为什么是空头来决定交割哪个券？

1. 现实中：国债一般是滚动发行的，同一时刻市场上有很多批次的国债（它们的 coupon rate 可能不同，不同时刻发行的国债市场状况都不同）
2. 防止（多）逼空。某一只国库券 A 在二级市场的流动性未必很好。如果临近交割时，多方与其利益一致方一起，提前大量收走市面上流通的国库券 A，就容易出现逼空的现象，空方一时就买不到，无券可交。为了稳定国债市场，防止这种多逼空的现象出现，国债期货在签订的时候就允许交割一篮子国债，并把选择权给空方。

国债期货的底层标的是什么？

国债期货的 Underlying Asset 是一个假想的 coupon rate 为 6% 的 30 年期国债，它是用于报价的。而实际交割的时候还是从 A basket of deliverable bonds 里面的券去交割。

虚拟债券的报价怎么指导实际债券交易呢？这里要引入一个转换因子（CF）。

转换因子 Conversion factor（CF）

转换因子（CF）是用于把国债期货报价（基于虚拟债券）和实际交割券的价格连接起来。可交割的一篮子债券中，每只债券都会给一个对应的 CF，是交易所提供的，目的是让可交割的债券价格大致相等 。

实际交割券的价格 = 国债期货报价（QFP） x CF + AI

$$ Principal invoice amount = Quoted futures price \times CF $$

$$Total invoice amount = Principal invoice amount + accrued interest $$

这里，Principal invoice amount 是不含应计利息的 clean price 。

国债期货的交割过程

如上图所示，国债期货到期时，short 方有权利在一篮子债券中挑选一个成本最低是债券，从国债市场花 $2 买来，然后交割给 long 方，同时收取 $1。

这里要引入一个 CTD（cheapest-to-deliver） 的概念。

CTD Bond（cheapest-to-deliver）

a cheapest-to-deliver（CTD） bond 是指国债期货可供交割的一篮子券当中，考虑到 CF 之后，成本最低的一只债券。

$2 是 short 方从市场上买来债券花的钱，所以：

$2 = CTD bond clean price + AI

$1 是 short 方从 long 方手里收来的钱，所以：

$1 = QFP x CF + AI

由于 short 方从国债市场上买来 CTD bond，和把 CTD bond 交割给 long 方是在同一时间，所以上面两个式子中的 AI 是一样的。

所以， short 方的交割成本 = $2 – $1 = CTD bond clean price – QFP x CF

Pricing of Fixed Income Futures 国债期货定价

$$Quoted Futures Price = [(S_{0} – PVC) \times (1+r_{f})^{T} – AI_{T}]/CF$$

• \(S_{0}\)：真实的国债（T-bond ）的即期 dirty price
  • \(S_{0} = quoted price (T-bond’s clean price) + AI_{0}\)
• PVC：国债期货存续期间（0 – T），交割的真实债券的期间流入票息的现值
• \(AI_{T}\)：交割日距离之前最近一次付息日，期间累积的应计利息

其中，\((S_{0} – PVC) \times (1+r_{f})^{T}\) 是从现券的角度，通过要交割的这只债券的现价（dirty price）计算未来 T 时刻交割的价值。

上式中，用每一组债券的 \(S_{0}\) 和 CF 和 PVC，都可以计算 QFP。由于计算结果差不多，所以选一组计算即可。

\(AI_{0}\) 和 \(AI_{T}\)是什么关系？

\(AI_{0}\) 是站在 0 时刻，要交割的现券距离当前最近的一次派发票息的时刻到现在，累积的应计利息。

\(AI_{T}\) 是站在未来交割的时刻 T，要交割的现券距离 T 最近的一次派发票息的时刻到 T 时刻，累积的应计利息。